9j-Symbol

9j-Symbole nach Eugene Wigner dienen dazu vier Drehimpulse in der Quantenmechanik zu koppeln.

Entsprechend ist das 9j-Symbol folgendermaßen über den Umkopplungskoeffizienten definiert:

${\displaystyle {\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle .}$

Der Umkopplungskoeffizient auf der rechten Seite transformiert zwischen zwei Basensätze: im Einen wird ${\displaystyle j_{1}}$ mit ${\displaystyle j_{2}}$ zu ${\displaystyle j_{3}}$ gekoppelt und ${\displaystyle j_{4}}$ mit ${\displaystyle j_{5}}$ zu ${\displaystyle j_{6}}$ und danach ${\displaystyle j_{3}}$ und ${\displaystyle j_{6}}$ zu ${\displaystyle j_{9}}$. Im Anderen wird ${\displaystyle j_{1}}$ mit ${\displaystyle j_{4}}$ zu ${\displaystyle j_{7}}$ gekoppelt und ${\displaystyle j_{2}}$ mit ${\displaystyle j_{5}}$ zu ${\displaystyle j_{8}}$ und danach ${\displaystyle j_{7}}$ und ${\displaystyle j_{8}}$ zu ${\displaystyle j_{9}}$.

${\displaystyle |((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle =\sum _{j_{3}}\sum _{j_{6}}\langle ((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}|((j_{1}j_{4})j_{7},(j_{2}j_{5})j_{8})j_{9}\rangle \,|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}\rangle }$

${\displaystyle ={\sqrt {(2j_{7}+1)(2j_{8}+1)}}\,\sum _{j_{3}}\sum _{j_{6}}\,{\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}|((j_{1}j_{2})j_{3},(j_{4}j_{5})j_{6})j_{9}\rangle }$

Das 9j-Symbol ist invariant unter Reflexion an seinen Diagonalen und bei gerader Permutation der Reihen oder Spalten:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\\j_{7}&j_{4}&j_{1}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{7}&j_{4}&j_{1}\\j_{9}&j_{6}&j_{3}\\j_{8}&j_{5}&j_{2}\end{Bmatrix}}.}$

Bei ungerader Permutation von Reihen oder Spalten wird mit dem Phasenfaktor ${\displaystyle (-1)^{S}}$ multipliziert, mit ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{9}j_{i}}$. Beispiel:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=(-1)^{S}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\\j_{8}&j_{7}&j_{9}\end{Bmatrix}}.}$

Die 9j-Symbole lassen sich als Summen über Produkte von drei 6j-Symbolen ausdrücken:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}=\sum _{x}(-1)^{2x}(2x+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{4}&j_{7}\\j_{8}&j_{9}&x\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{5}&j_{8}\\j_{4}&x&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\\x&j_{1}&j_{2}\end{Bmatrix}}}$.

Dabei wird über alle ${\displaystyle x}$ summiert bei denen für die Faktoren die Dreiecksbedingung erfüllt ist (siehe 3j-Symbol oder 6j-Symbol).

Ein Spezialfall ist, falls das 9j-Symbol proportional einem 6j-Symbol ist:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3},j_{6}}\delta _{j_{7},j_{8}}}{\sqrt {(2j_{3}+1)(2j_{7}+1)}}}(-1)^{j_{2}+j_{3}+j_{4}+j_{7}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{7}\end{Bmatrix}}.}$

Die 9j-Symbole erfüllen die Orthogonalitätsrelation:

${\displaystyle \sum _{j_{7}j_{8}}(2j_{7}+1)(2j_{8}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}'\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\\j_{7}&j_{8}&j_{9}\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{3}j_{3}'}\delta _{j_{6}j_{6}'}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{6}&j_{9}\end{Bmatrix}}}{(2j_{3}+1)(2j_{6}+1)}}.}$

Das trianguläre Delta ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}}$ ist wie bei 3j-Symbol definiert und drückt die Einhaltung der Dreiecksbedingung aus.

• Alan Robert Edmonds: Drehimpulse in der Quantenmechanik, BI Hochschultaschenbücher 1964 (englisches Original Princeton UP 1957)
• A. Messiah: Quantenmechanik, Band 2, De Gruyter 1985, Anhang C

• Wigner 9j-Symbol, Mathworld