公倍数

公倍数（こうばいすう）とは、２つ以上の整数に共通な倍数。例えば、${\displaystyle 2}$と${\displaystyle 3}$の公倍数は-18,-12,-6,0,6,12,18などである。ただし、算数では、倍数に${\displaystyle 0}$を含めないので、公倍数にも${\displaystyle 0}$を含めない。

公倍数のうち、正で最小のものを最小公倍数という。上の例でいうと、${\displaystyle 2}$と${\displaystyle 3}$の最小公倍数は${\displaystyle 6}$である。

与えられた2つ（以上）の数に対し、それら全てを掛け合わせたものは、それらの数の公倍数になるが、最小公倍数になるとは限らない。例えば、${\displaystyle 4}$と${\displaystyle 6}$の最小公倍数は${\displaystyle 12}$であるが、${\displaystyle 4\cdot 6=24}$である。

ある２つ以上の整数の公倍数は無限に存在する。例えば、${\displaystyle 3}$と${\displaystyle 5}$の公倍数は-30,-15,0,15,30となり、15の倍数になっていることがわかる。（ある与えられた数の倍数は無限に存在する。）

一般化

二つの整数${\displaystyle m,\ n}$の公倍数とは、${\displaystyle m}$の倍数全体の集合${\displaystyle m\mathbb {Z} =\{mk|k}$は整数全体を動く${\displaystyle \}}$、${\displaystyle n}$の倍数全体の集合${\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nk|k}$は整数全体を動く${\displaystyle \}}$の集合の共通部分${\displaystyle m\mathbb {Z} \cap n\mathbb {Z} }$に属する整数のことである。

${\displaystyle m\mathbb {Z} \cap n\mathbb {Z} }$はある整数${\displaystyle c}$を用いて${\displaystyle c\mathbb {Z} =\{ck|k}$は整数全体を動く${\displaystyle \}}$の形に表すことができる。このような${\displaystyle c}$は正と負の2つが存在し、正の方を${\displaystyle m}$と${\displaystyle n}$の最小公倍数という。これらの概念は${\displaystyle m,\ n}$が正の整数のとき、既に定義したものと一致する。

この定義に現れる「整数」を一般の「単項イデアル整域の元」に取り替えても、全く同様の概念として公倍元・最小公倍元を定義できる。一般の環では、公倍元は定義できるが最小公倍元の存在は必ずしもいえない。

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