De discrete-time Fourier transform (of DTFT) maakt deel uit van de familie van de fouriertransformaties. Hij transformeert een functie
van een discrete-tijdsvariabele
, met
, naar een continu, periodiek spectrum
.
Definitie
De DTFT van
wordt gegeven door:
![{\displaystyle F(e^{i\omega })=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,e^{-in\omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c4a1da9654a4b5b084c4cc548566cbeebc5c49)
Met de inverse DTFT kan
uit de getransformeerde terugverkregen worden.
![{\displaystyle f(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F(e^{i\omega })\,e^{in\omega }\,{\rm {d}}\omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc791b283cac313a56e942dd7dc299b6bbd8551)
Periodiciteit van de DTFT
De DTFT is periodiek met periode
, er geldt namelijk
![{\displaystyle F(e^{i\omega })\,\!=F(e^{i(\omega +2\pi )})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225ed61d97308fe193953143c7e5d904f7763ae9)
Dit wordt als volgt bewezen.
![{\displaystyle F(e^{i(\omega +2\pi )})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,e^{-in(\omega +2\pi )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,e^{-in\omega }e^{-in2\pi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a6842a9ec02e785660742bc59989ab09912dba)
Omdat
(zie complex getal), is het bovenstaande gelijk aan
![{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,e^{-in\omega }1^{-n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,e^{-in\omega }=F(e^{i\omega })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cd146162719cf2040f1a3a5300f29d87ee04cc)
waarmee periodiciteit aangetoond is. Discreetheid in het ene domein leidt dus tot periodiciteit in het geconjugeerde domein.
Verschil tussen de DTFT en de DFT
De DTFT verschilt van de discrete fouriertransformatie (DFT) in zoverre dat de laatste een periodieke discrete-tijdfunctie
transformeert. Voor een tijdbegrensd signaal met tijdsduur
gegeven door
, bemonstert in feite de DFT met uniforme tussen-intervallen de DTFT op de punten
in het frequentiedomein.
![{\displaystyle F(k)=\left.F(e^{i\omega })\,\right|_{\omega =2\pi {\frac {k}{N}}}=\left.\sum _{n=0}^{N-1}f(n)\,e^{-i\omega n}\,\right|_{\omega =2\pi {\frac {k}{N}}}=\sum _{n=0}^{N-1}f(n)\,e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f26ee95203189bf14fba26dea65dbd1e490f7eb)
Relatie met de z-transformatie
De DTFT is een speciaal geval van de z-transformatie. De z-transformatie is als volgt gedefinieerd:
![{\displaystyle F(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343f033534aa64a2bccb6325fefa3656e55a4c4c)
Berekent men de z-getransformeerde voor
, dan verschijnt de DTFT. (Daarom wordt voor de DTFT de notatie
geprefereerd boven de notatie
.)
![{\displaystyle \left.F(z)\right|_{z=e^{i\omega }}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\,e^{-in\omega }=F(e^{i\omega })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/715ea58b83e1c901903e59a57d4d280312d76119)
Merk op dat berekening van de DTFT voor
equivalent is met het berekenen van de z-getransformeerde op de eenheidscirkel in het complexe vlak.