Twierdzenie Riemanna-Lebesgue’a

Ten artykuł należy dopracować: od 2014-06 → sformatować tekst (pomoc: podział na sekcje, tabele, wzory). Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Twierdzenie lub lemat Riemanna–Lebesgue’a – twierdzenie analizy harmonicznej, noszące nazwiska Bernharda Riemanna i Henriego Lebesgue’a, mówiące o tym, że transformata Fouriera lub transformata Laplace’a funkcji bezwzględnie całkowalnej w sensie Lebesgue’a znika w nieskończoności.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ będzie funkcją mierzalną należącą do przestrzeni Lebesgue’a ${\displaystyle \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ),}$ tzn. spełniającą nierówność

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }|f|<\infty .}$

Wówczas transformata Fouriera

${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-itx}\,dx\to 0,\quad {\mbox{ przy }}|t|\to \infty ,}$

bądź innymi słowy: obraz ${\displaystyle {\hat {f}}}$ należy do podprzestrzeni ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ funkcji ciągłych znikających w nieskończoności przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ).}$

Dowód

Niech ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ będzie funkcją mierzalną z przestrzeni${\displaystyle \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n}),}$ czyli ${\displaystyle \|f\|_{L_{1}(\mu )}<+\infty ,}$ wówczas:

${\displaystyle \lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega x}=0,}$

(1)

gdzie ${\displaystyle \omega =(\omega _{1},\omega _{2},...,\omega _{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Zacznijmy obliczenia od funkcji charakterystycznej przesuniętego o dowolny wektor hipersześcianu o bieżącym punkcie centralnym ${\displaystyle P_{0}=(p_{1},p_{2},...,p_{n})}$ i boku o długości równej ${\displaystyle \Delta .}$ Zbiór będzie oznaczany dalej jako ${\displaystyle [P_{0},\Delta ].}$

${\displaystyle \int \limits _{[P_{0},\Delta ]}1_{[P_{0},\Delta ]}e^{-i\omega x}dx=\prod _{j=1}^{n}\left(\;\int \limits _{p_{j}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{j}+{\frac {\Delta }{2}}}e^{-i\omega _{j}x_{j}}dx_{j}\;\right).}$

Fakt, że ${\displaystyle \|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty ,}$ wskazuje iż przynajmniej jedna ze składowych wektora ${\displaystyle \omega ,}$ dąży do nieskończoności, bez utraty ogólności można przyjąć, że jest to ${\displaystyle \omega _{1}}$ a zatem:

${\displaystyle 0\leqslant \lim _{\omega _{1}\to \infty }\left|\;\int \limits _{p_{1}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{1}+{\frac {\Delta }{2}}}e^{-i\omega _{1}x_{1}}dx_{1}\;\right|=\lim _{\omega _{1}\to \infty }\left|\left[{\frac {e^{-i\omega _{1}x_{1}}}{-i\omega _{1}}}\right]_{p_{1}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{1}+{\frac {\Delta }{2}}}\right|\leqslant \lim _{\omega _{1}\to \infty }{\frac {2}{\left|\omega _{1}\right|}}=0,}$

skutkiem czego, korzystając między innymi z nierówności trójkąta, uzyskuje się:

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leqslant \lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{[P_{0},\Delta ]}1_{[P_{0},\Delta ]}e^{-i\omega x}dx\right|&=\lim _{\omega _{1}\to \infty }\left|\int \limits _{p_{1}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{1}+{\frac {\Delta }{2}}}e^{-i\omega _{1}x_{1}}dx_{1}\right|\prod _{j=2}^{n}\left|\int \limits _{p_{j}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{j}+{\frac {\Delta }{2}}}e^{-i\omega _{j}x_{j}}dx_{j}\right|\\&\leqslant \lim _{\omega _{1}\to \infty }\left|\int \limits _{p_{1}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{1}+{\frac {\Delta }{2}}}e^{-i\omega _{1}x_{1}}dx_{1}\right|\prod _{j=2}^{n}\int \limits _{p_{j}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{j}+{\frac {\Delta }{2}}}\left|e^{-i\omega _{j}x_{j}}\right|dx_{j}\\&\leqslant \lim _{\omega _{1}\to \infty }\left|\int \limits _{p_{1}-{\frac {\Delta }{2}}}^{p_{1}+{\frac {\Delta }{2}}}e^{-i\omega _{1}x_{1}}dx_{1}\right|\Delta ^{n-1}=0.\end{aligned}}}$

(2)

Niech ${\displaystyle A}$ będzie dowolnym zbiorem mierzalnym takim, że jego miara Lebesgue’a ${\displaystyle \mu (A)}$ ma pewną skończoną wartość liczbową, natomiast ${\displaystyle {\widetilde {A}}}$ przybliżeniem ${\displaystyle A}$ takim, że ${\displaystyle A\subseteq {\widetilde {A}},}$ ponadto:

${\displaystyle {\widetilde {A}}=\bigcup _{m=1}^{\infty }[P(m),\Delta (m)],\quad {\text{ gdzie }}\forall _{(k,j)\in \mathbb {Z} _{+}^{2}:k\neq j}\ (P(k),\Delta (k))\cap (P(j),\Delta (j))=\emptyset }$

${\displaystyle \chi _{\widetilde {A}}=\sum _{m=1}^{\infty }1_{(P(m),\Delta (m))}+\chi _{S},}$

gdzie ${\displaystyle (P(m),\Delta (m))}$ jest maksymalnym zbiorem otwartym zawartym w ${\displaystyle [P(m),\Delta (m)],}$ ${\displaystyle S=\bigcup _{m=1}^{\infty }[P(m),\Delta (m)]-(P(m),\Delta (m)).}$

${\displaystyle 0\leqslant \left|\;\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{S}e^{-i\omega x}\right|\leqslant \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{S}=\mu (S)\leqslant \sum _{m=1}^{\infty }\mu ([P(m),\Delta (m)]-(P(m),\Delta (m)))=0.}$

Zastosowana metoda aproksymacji ${\displaystyle A}$ przez ${\displaystyle {\widetilde {A}}}$ daje pozytywny rezultat, gdyż standardowa konstrukcja pokrycia zbioru mierzalnego opiera się na przedziałach, których funkcje charakterystyczne są nieciągłe na zbiorze miary zero taka sama sytuacja zajdzie zatem również w przypadku ${\displaystyle \chi _{\widetilde {A}}.}$ Można dokonać podziału na przeliczalną liczbę obszarów z których każdy jest się w stanie pokryć przy pomocy ciągu ${\displaystyle [P(m),\Delta (m)]}$ z odpowiednio dopasowaną deltą. Ostatecznie jego wyrazy jako zbiór równoliczny z podzbiorem iloczynu kartezjańskiego (przeliczalna liczba obszarów to też przeliczalna liczba oddzielnych sum) są przeliczalne.

Stosując zależność (2), można obliczyć granicę iterowaną:

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leqslant L&=\lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left[\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\chi _{S}+\sum _{j=1}^{m}1_{(P(j),\Delta (j))}\right)e^{-i\omega x}\right|\right]\right\}\\&\leqslant \lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left[\sum _{j=1}^{m}\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}1_{[P(j),\Delta (j)]}e^{-i\omega x}dx\right|\right)\right]\right\}=0\end{aligned}}}$

na mocy nierówności trójkąta:

${\displaystyle \lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{A}e^{-i\omega x}\right|\right)\right\}\leqslant \lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{A}e^{-i\omega x}-\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\chi _{S}+\sum _{j=1}^{m}1_{(P(j),\Delta (j))}\right)e^{-i\omega x}\right|\right)\right\}+L}$

ponowne skorzystanie z nierówności trójkąta pozwala na wyrugowanie ${\displaystyle \omega }$ po prawej stronie, zatem:

${\displaystyle \lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{A}e^{-i\omega x}\right|\right)\right\}\leqslant \lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\chi _{A}-\left(\chi _{S}+\sum _{j=1}^{m}1_{(P(j),\Delta (j))}\right)\right|\right)\right\},}$

stąd:

${\displaystyle \lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{A}e^{-i\omega x}\right|\leqslant \lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\chi _{A}-\left(\chi _{S}+\sum _{j=1}^{m}1_{(P(j),\Delta (j))}\right)\right|\right\},}$

pamiętając, że zbiory ${\displaystyle (P(j),\Delta (j))}$ i ${\displaystyle S}$ nie mają ze sobą części wspólnej:

${\displaystyle \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\chi _{A}-\left(\chi _{S}+\sum _{j=1}^{m}1_{(P(j),\Delta (j))}\right)\right|=\mu \left(\left[S\cup \bigcup _{j=1}^{m}(P(j),\Delta (j))\right]{\dot {-}}A\right)}$

${\displaystyle \lim \limits _{m\to +\infty }\mu \left(\left[S\cup \bigcup _{j=1}^{m}(P(j),\Delta (j))\right]{\dot {-}}A\right)=\mu \left(\left[S\cup \bigcup _{j=1}^{+\infty }(P(j),\Delta (j))\right]{\dot {-}}A\right)=\mu ({\widetilde {A}}{\dot {-}}A)=\mu ({\widetilde {A}})-\mu (A).}$

Równość powyżej jest naturalną konsekwencją iż na mocy przyjętych założeń ${\displaystyle A\subseteq {\widetilde {A}},}$ wobec czego różnica symetryczna zbiorów ${\displaystyle {\widetilde {A}}{\dot {-}}A={\widetilde {A}}\setminus A}$ natomiast miara Lebesgue’a będzie różnicą miar. Uwzględniając, że ${\displaystyle A}$ jest zbiorem mierzalnym o skończonej mierze, można wyznaczyć granicę:

${\displaystyle 0\leqslant \lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{A}e^{-i\omega x}\right|\leqslant \lim \limits _{{\widetilde {A}}\to A}\mu ({\widetilde {A}})-\mu (A)=0.}$

(3)

Niech ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to [0,+\infty )}$ będzie funkcją mierzalną z przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n}),}$ jej całkę Lebesgue’a można zatem obliczyć jako:

${\displaystyle \int \limits _{A}g=\lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left(\lim \limits _{m\to +\infty }\sum _{j=1}^{m}\delta \mu (A_{j})\right),}$

(4)

zaś samą funkcję ${\displaystyle g}$ przedstawić wyrażeniem:

${\displaystyle g=\lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left(\lim \limits _{m\to +\infty }\sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}\right),}$

gdzie ${\displaystyle A_{j}=\{x\in {\text{obszaru całkowania A}}:g(x)>j\delta \}}$ zaś ${\displaystyle r_{j}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:g(x)>j\delta \}.}$

Licząc granicę iterowaną i korzystając z faktu, iż ${\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left(g(x)\geqslant 0\ \wedge \ \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|g|=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}g<+\infty \right)}$ powoduje, że ${\displaystyle \forall _{(j,\delta )\in \mathbb {Z} _{+}\times \mathbb {R} _{+}}\ \mu (r_{j})<+\infty }$ co pozwala skorzystać z zależności (3) a zatem:

${\displaystyle 0\leqslant L_{g}=\lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left[\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}\right)e^{-i\omega x}\right|\right]\right\}\leqslant \lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left[\sum _{j=1}^{m}\left(\delta \lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{r_{j}}e^{-i\omega x}\right|\right)\right]\right\}=0,}$

stosując ponownie nierówność trójkąta:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}ge^{-i\omega x}\right|\right)\right\}&\leqslant \lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}ge^{-i\omega x}-\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left(\sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}\right)e^{-i\omega x}\right|\right)\right\}+L_{g}\\&\leqslant \lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|g-\left(\sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}\right)\right|\right)\right\},\end{aligned}}}$

więc:

${\displaystyle \lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}ge^{-i\omega x}\right|\leqslant \lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|g-\sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}\right|\right)\right\}.}$

Uwzględniwszy, że na mocy założeń dla każdego ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ funkcja ${\displaystyle g(x)\geqslant 0,}$ a także, iż ${\displaystyle \forall _{(m,\delta )\in \mathbb {Z} _{+}\times \mathbb {R} _{+}}\ g\geqslant \sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}}$ oraz zależność (4):

${\displaystyle \lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\left|\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}ge^{-i\omega x}\right|\leqslant \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}g-\lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\sum _{j=1}^{m}\delta \chi _{r_{j}}\right)\right\}=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}g-\lim \limits _{\delta \to 0^{+}}\left\{\lim \limits _{m\to +\infty }\left(\sum _{j=1}^{m}\delta \mu (r_{j})\right)\right\}=0.}$

(5)

Powyższy rezultat jest ściśle powiązany z przynależnością ${\displaystyle g(x)}$ do przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n}),}$ oraz mierzalnością, co pozwala na uniknięcie braku istnienia granicy i symbolów nieoznaczonych typu ${\displaystyle \infty -\infty .}$

Niech ${\displaystyle h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ będzie funkcją mierzalną z przestrzeni ${\displaystyle \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ wówczas jej całkę Lebesgue’a można przedstawić w postaci:

${\displaystyle \int h=\int h^{+}-\int h^{-},}$

gdzie ${\displaystyle h^{+}:=\max(h,0)}$ zaś ${\displaystyle h^{-}:=\max(-h,0).}$ Uwzględnienie postulatu σ-skończoności, który cechuje miarę Lebesgue’a i implikuje mierzalnością zbiorów ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ i ${\displaystyle \mathbb {R} _{-},}$ prowadzi do wniosku, że funkcje ${\displaystyle h^{+}}$ i ${\displaystyle h^{-}}$ muszą być mierzalne jeżeli mierzalnym jest ${\displaystyle h,}$ ponadto:

${\displaystyle \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|h|=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}h^{+}+\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}h^{-}<+\infty ,}$

więc ${\displaystyle h^{+}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\ \wedge \ h^{-}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),}$ co pozwala mi na skorzystanie z zależności (5) a zatem:

${\displaystyle \lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}he^{-i\omega x}=\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}h^{+}e^{-i\omega x}-\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}h^{-}e^{-i\omega x}=0+0=0.}$

(6)

Teraz można już przeprowadzić ostateczny dowód dla funkcji ${\displaystyle f,}$ scharakteryzowanej wraz z wyrażeniem (1). Założenie dotyczące mierzalności skutkuje mierzalnością ${\displaystyle \Re {f}}$ oraz ${\displaystyle \Im {f}.}$ Ponadto:

${\displaystyle 0\leqslant \min \left(\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\Im {f}\right|,\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\Re {f}\right|\right)\leqslant \max \left(\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\Im {f}\right|,\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\left|\Re {f}\right|\right)\leqslant \int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}|f|<+\infty ,}$

wobec czego ${\displaystyle \Im {f}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\ \wedge \ \Re {f}\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),}$ dzięki czemu można użyć zależności (6), więc:

${\displaystyle \lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}fe^{-i\omega x}=\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}\Re {f}e^{-i\omega x}+\lim _{\|\omega \|_{L_{\infty }}\to +\infty }\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}i\Im {f}e^{-i\omega x}=0+i0=0,}$

co też należało wykazać. Zachodzenie całkowalności w sensie Riemanna, jest możliwe tylko w przypadku zachodzenia całkowalności w sensie Lebesgue’a, zatem odrębny dowód nie jest konieczny, gdyż prowadzi do identycznego rezultatu. Istnieje całkiem spora grupa funkcji z przestrzeni L¹, dla których granica (1) w sensie R-całki nie istnieje, czego przykładem jest chociażby ${\displaystyle {\frac {1_{\mathbb {Q} }2-1}{1+x^{2}}},}$ co nie jest wynikiem, który powinno się traktować jako miarodajny, gdyż dowolny zbiór przeliczalny ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}}$ można pokryć sumą o postaci ${\displaystyle \bigcup _{m=1}^{\infty }\left[P(m),{\sqrt[{n}]{\frac {\varepsilon }{2^{m+1}}}}\right],}$ gdzie ${\displaystyle \varepsilon >0}$ może być dowolnie bliski zeru, natomiast funkcja ${\displaystyle P:\mathbb {Z} _{+}\to M,}$ jest zazwyczaj bijekcją. Czuje się tutaj jednocześnie wyraźny sens istnienia nieprzeliczalności, gdyż w przypadku policzalności zbioru ${\displaystyle \mathbb {R} }$ wszystko byłoby skomasowane w dokładnie jednym punkcie, czyli nie miałoby sensu.

Uwagi

• W języku rachunku prawdopodobieństwa twierdzenie to można wyrazić następująco:

  Jeżeli ${\displaystyle x}$ jest zmienną losową o rozkładzie ciągłym, to jej funkcja charakterystyczna dąży do zera:

  ${\displaystyle \lim \limits _{|t|\to +\infty }\varphi _{X}(t)=0.}$

• Jeżeli nośnik ${\displaystyle \mathrm {supp} \;f=(0,+\infty ),}$ to teza zachodzi również dla transformaty Laplace’a, tj.

  ${\displaystyle \lim \limits _{|t|\to \infty }{\mathcal {L}}f(t)=\lim \limits _{|t|\to \infty }\int \limits _{0}^{+\infty }f(x)e^{-tx}\,dx=0,\qquad {\text{gdy }}\Im (t)\geqslant 0.}$

• Istnieje również wersja dla szeregów Fouriera:

  Jeśli ${\displaystyle f}$ jest funkcją całkowalną (w sensie Lebesgue’a) na przedziale, to współczynniki Fouriera ${\displaystyle f_{n}\to 0}$ przy ${\displaystyle n\to \pm \infty ;}$ wystarczy rozszerzyć ${\displaystyle f,}$ przyjmując 0 poza wspomnianym przedziałem, a następnie zastosować twierdzenie dla całej prostej.

• Tezę można uogólnić na wielowymiarowe przestrzenie euklidesowe: jeżeli ${\displaystyle \mathbf {f} \in \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ^{n}),}$ to wystarczy przyjąć

  ${\displaystyle \mathbf {\hat {f}} (\mathbf {t} )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathbf {f} (\mathbf {x} )\,{\boldsymbol {\exp(}}-i\mathbf {t} \cdot \mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x} .}$